그래프 III, 역함수의 대표 주자! 𝑦=1 / x 함수의 모든 것

[문제] 기울기, x절편, y절편을 구하시오.

1) y = -4x + 5

2) x의 증가량이 2이고, y의 증가량이 6이며, x가 0일때 y는 3 인 함수

3) x의 값이 1에서 3으로 증가 했을때, y의 값이 4만큼 감소하고, y절편이 -7 인 함수 

4) A(-3, -2), B(1,0), C(3, m) 이 한 직선 위에 있습니다. m 값을 구하시오.

 

자 풀어볼까요.

1) 함수 y=−4x+5y의 기울기, x절편, y절편을 구하시오.

              y = -4x + 5 x의 계수가 기울기이므로 -4

                        x절편 : y 값이 0이므로

                                     0 = -4x + 5

                                    -4x = -5

                                    x = 5 / 4

                        y절편 : x 값이 0이므로

                                     y = 5

∴ 기울기: -4, x절편 : (5 / 4, 0), y절편 : (0, 5)

여기까지는 쉽죠 ^^;;

 

2) x의 증가량이 2이고, y의 증가량이 6이며, x가 0일때 y는 3 인 함수의

   기울기, x절편, y절편을 구하시오.

y의 증가량 / x의 증가량 = 기울기 

기울기는 6 / 2 = 3

(0, 3)을 지나니

y = 3x + a 에서 a = 3

y = 3x + 3

x절편 : y=0일 때 x 값이므로

            0 = 3x + 3

            x = -1

y절편 : x =0일 때 y 값

             y = 3

∴ 기울기: 3, x절편 : (-1, 0), y절편 : (0, 3)

 

3) x의 값이 1에서 3으로 증가 했을때, y의 값이 4만큼 감소하고, y절편이 -7 인 함수

   기울기, x절편, y절편을 구하시오.

기울기 = y의 증가량 / x의 증가량 = -4 / 3 - 1 = -4 / 2 = -2

y = -2x + a 로 놓으면

y절편이 -7 (0, -7)

y = -2x -7

x절편: y = 0 일때 x 값이므로

          0 = -2x - 7

          2x = -7

          x = -7 / 2

∴ 기울기: -2, x절편 : (-7/2, 0), y절편 : (0, -7)

 

4) A(-3, -2), B(1,0), C(3, m) 이 한 직선 위에 있습니다. m 값을 구하고,

   기울기, x절편, y절편을 구하시오.

두 점을 알고 있으니, 기울기 = 0 - (-2) /1 - (-3) = 2 / 4 = 1 / 2

y = 1 / 2x + a 로 놓으면

A(-3, -2)를 지나가니

-2 = - 3 / 2 + a

a = -2 + 3 / 2 = - 1 / 2

함수는 y = 1 / 2x - 1 / 2

여기서 C(3, m)도 같은 y = 1 / 2x - 1 / 2를 지나니

m = 3 / 2 - 1 / 2

m = 2 / 2 = 1

x절편 : y = 0 일때 x 값이므로

             0 = 1 / 2 x - 1 / 2

            1 / 2 x = 1 / 2

             x =  1

y절편 : x = 0일 때 y 값이므로

             y = -1 / 2

∴ 기울기: 1 / 2, x절편 : (1, 0), y절편 : (0, -1/ 2), m = 1

 

와우 수고 하셨어요. 잘 풀었어요. 짝짝짝!!!

 

자 그럼 역함수, y = 1 / x 함수를 그래프로 나타내 볼까요?

 

그래프를 그리는 방법

1. x 값에 몇 가지 대표적인 값을 대입해 y 값을 구합니다.
   • 예를 들어, x = 1이면 y = 1, x = 2이면 y = 0.5, x = 0.5이면 y = 2
   • x = -1이면 y = -1, x = -2이면 y = -0.5, x = -0.5이면 y = -2
2. 좌표를 찍고 점들을 부드럽게 연결합니다.
3. 점근선을 고려하여 그래프를 확장합니다.

 

역함수는 반대로 생각하시면되요.

1. 정의역과 치역
   • 함수 y = 1/x 는 x = 0에서 정의되지 않습니다.
   • 원점(0,0)을 지나지 않으며, x축과 y축을 점근선으로 갖습니다.
   • x가 양수일 때 y도 양수이고, x가 음수일 때 y도 음수입니다.
2. 점근선
   • x → 0⁺ (x가 0보다 조금 큰 값)일 때, y는 매우 큰 값(∞)이 됩니다.
   • x → 0⁻ (x가 0보다 조금 작은 값)일 때, y는 매우 작은 값(-∞)이 됩니다.
   • x → ∞ (x가 무한대로 증가)하면 y는 0에 가까워집니다.
   • x → -∞ (x가 음의 무한대로 감소)하면 y 역시 0에 가까워집니다.
3. 그래프의 모양
   • 이 함수의 그래프는 두 개의 곡선으로 이루어져 있으며, 제1사분면과 제3사분면에 위치합니다.
   • 원점(0,0)을 지나지 않으며, x축과 y축을 점근선으로 갖습니다.

 

결론

y = 1/x 함수는 분수형 함수의 대표적인 예로,

정의역에서 0을 제외하고 모든 실수에서 정의됩니다.

또한, 대칭성과 점근선을 고려하면 그래프를 보다 쉽게 그릴 수 있습니다.

 

[문제]  y = -3 / x + 3 그래프를 그려봐요.

 

그럼 안녕~~~